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金属包装罐迄今已有70多年的历史。20世纪30年代初，美国就已经开始生产啤酒金属罐了，这种三片罐是用马口铁皮制作的，罐体上部呈圆锥状，最上面是冕状罐盖。其大体外形与玻璃瓶相差不太大，所以最初也是用玻璃瓶灌装线灌装的，直到上世纪50年代才有了专用灌装线。罐盖在50年代中期演变成平面形状，上世纪60年代又改进为铝制环形盖。
铝制饮料罐最早是在上世纪50年代末出现的，上世纪60年代初期二片DWI罐正式问世。铝制易拉罐发展非常迅速，到本世纪末每年的消费量已有 1800多亿只，在世界金属罐总量（约4000亿只）上是数量最大的一类。用于制造铝罐的铝材消费量同样快速增长，1963年还近于零，1997年已达 360万吨，相当于全球各种铝材总用量的15％。
美国是世界铝饮料罐的最大生产国和消费国。美国铝罐使用数量1984年超过620亿只，1987年超过700亿只，1988年超过800亿只，1990年超过900亿只，1994年超过1000亿只。美国铝易拉罐主要用于包装饮料，如1992年饮料铝罐量为928亿只，占当年饮料罐总量 957亿只的97％，铁皮罐仅为29亿只、占3％。2001年美国啤酒和软饮料铝罐用量为近1000亿只，其中软饮料罐640亿只，啤酒罐330亿只。日本铝罐的产量已经连续多年增长，从1985年的30亿只分别增加到1987年的55亿只、1989年的81亿只、1991年的102亿只、1993年的 118亿只、1995年的159亿只和1997年的166亿只，铝罐的大部分是啤酒罐，如1997年为95亿只、占57％，碳酸饮料罐有35亿只、占 21％，其他饮料罐30亿只、占18％。从上世纪80年代中期以来，欧洲饮料罐市场一直呈现稳定增长之势。1990年，欧洲饮料罐消费量第一次超过200 亿只，1993年达250亿只，1995年突破300亿只。1996年下降了2％，由上年的322亿只减为316亿只。1997年，欧洲饮料罐市场重又恢复了平稳增长，年增幅为5％，总消费量上升到335亿只，为历史最高水平。其中，清凉饮料罐185亿只、比上年增长5．1％，啤酒罐150亿只、比上年增长7％。欧洲饮料罐中铁皮罐和铝罐各约占一半。中南美洲的铝罐消费量也比较大，每年近200亿只。亚洲（日本除外）的铝罐年消费量也不下200亿只。中国铝易拉罐消费量现在每年有80多亿只。
数十年来，铝易拉罐的制造技术在不断改进。铝罐重量已经大为减少，上世纪60年代初期，每千只铝罐（包括罐身和罐盖）的重量达55镑（约合 25千克），上世纪70年代中期降至44．8镑（25千克），上世纪90年代后期又减到33镑（15千克），现已减为30镑以下，比40年前减少了近一半。1975年～1995年的20年间，1磅铝材制作的铝罐（容量为12盎司）的数量增加了35％。另据美国ALCOA公司的统计，每千只铝罐罐身所需要的铝材由1988年的25.8磅减少到1998年的22．5磅和2000年再减为22.3磅。美国制罐企业封缝机械和其他技术不断取得突破，所以美国铝罐的铝材厚度已经明显下降，由1984年的0．343毫米减为1992年的0．285毫米和1998年的0.259毫米。
铝易拉罐盖轻量化进展也很明显。罐盖铝材的厚度由上世纪60年代初的0．39毫米下降到上世纪70年代的0．36毫米，1980年降到0． 28毫米～0.30毫米，80年代中期降到0．24毫米。罐盖直径也有所缩小。罐盖重量不断减少，1974年千只铝易拉罐的重量为13磅，1980年减为 12磅，1984年减为11磅，1986年减为10磅，1990年和1992年分别减为9磅和8磅，2002年减至6．6磅。制罐速度大幅度提高，由上世纪70年代的650～1000cpm（只／每分钟）分别提高到80年代的1000～1750cpm和现在的2000cpm以上。
很多国家特别是发达国家，对用过之后的废旧金属罐的回收和利用都很重视，金属罐的回收再利用率也不断增高。比如美国铝罐的回收再利用率，早在上世纪80年代就已超过50％，1990年为63.6％，1994年提高为65.4％，1997年达66.5％，1999年降为62.5％，2000年为 62.1％。日本铝罐的回收再利用率由1990年的43％分别提高到1993年的58％、1996年的70％、1999年的79％和2001年的83％。
罐装饮料生产线元器件选型
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可口可乐饮料罐的形状
可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 为什么? 它们的形状为什么是这样的?
找一个可口可乐饮料罐具体测量一下:它顶盖的直径和从顶盖到底部的高:约为6厘米和12厘米.中间胖的部分的直径约为6.6厘米,胖的部分高约为10.2厘米.可口可乐饮料罐上标明净含量为355毫升(即355立方厘米).根据有关的数据,要求通过数学建模的方法来回答相关的问题.
参考答案
我们先看这样的数学题: “用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器,问应当如何设计,才能使用料最省,这时圆柱的直径和高之比为多少?”(一般数学分析或高等数学教材中导数的应用(极值问题)部分的一道例题).实际上,用几何语言来表述就是:体积给定的圆柱体,其表面积最小的尺寸(半径 和高 )为多少?
表面积用 表示, 体积用 表示, 则有
, , .
, ,
.即圆柱的直径和高之比为1:1.
问题分析和模型假设
首先把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.
实际上,饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.
图1.2 饮料罐的实际形状与假设形状
用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬(厚,因为要使劲拉),假设除易拉罐的顶盖外,罐的厚度相同,记作 ,顶盖的厚度为 .想象一下,硬度体现在同样材料的厚度上(有人测量过,顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍).因此,我们可以进行如下的数学建模. 这时必须考虑所用材料的体积. 用 表示表面积,体积用 表示.
模型的建立 明确变量和参数：设饮料罐的半径为 (因此,直径为 ), 罐的高为 . 罐内体积为 . 为除顶盖外的材料的厚度.其中 , 是自变量, 所用材料的体积 是因变量, 而 和 是固定参数, 是待定参数.
饮料罐侧面所用材料的体积为
饮料罐顶盖所用材料的体积为 ,饮料罐底部所用材料的体积为 .所以, 和 分别为 ,
因为 ,所以带 , 的项可以忽略.(这是极其重要的合理假设或简化). 因此
,记 .于是我们可以建立以下的数学模型： .
其中 是目标函数, 是约束条件, 是已知的(即罐内体积一定), 即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的 , 和 使得 , 和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.
模型的求解
一种解法(从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题).从 解出 ,代入 ,使原问题化为:求 使 最小,即,求 使 最小.
求临界点:令其导数为零得 .解得 , .
测量数据为 ,即 , .即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍.
为验证这个 确实使 达到极小.计算 的二阶导数 ,(因 ).所以,这个 确实使 达到局部极小,因为临界点只有一个,因此也是全局极小.
模型另一种解法-- 乘子法(增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题).当然,这是把问题化为多元函数极值问题来处理了.
在上述解法中,从 解出 是关键的一步.但是常常不容易或不能从约束条件 中解出一个变量为另一个变量的函数(或者虽然能解出来,但很复杂),无助于问题的求解. 但是,如果 表示变量间的隐函数关系,并假设从中能确定隐函数 (尽管没有解析表达式, 或表达式很复杂),那么,我们仍然可以写成 ,而且,由隐函数求导法则,我们有 ,因此, 是 的临界点的必要条件为
,( ).
假设 是 的临界点, 则有 ,于是,在 处,
, .
因此,如果我们引入 ,那么,就有
把问题化为求三元函数 的无条件极值的问题.函数 称为 函数,这种方法称为 乘子法.具体到我们这个问题,有如下的结果.
引入参数 ,令 .求临界点
从第2,3式解得 , ,代入第1式得
, ,
,和前面结果相同.
同学们可能会觉得这个方法不如前一个方法简单,但是当你们做后面习题时你们就会体会到Lagrange乘子法的优点,以及进一步体会到使用数学软件的重要性和必要性.
模型验证及进一步的分析：
有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半径为3厘米,则其体积为 ,即装不下那么多饮料,为什么?模型到底对不对
实际上,饮料罐的形状是图2.12左边平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.
粗略的计算,可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3 厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为 31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.
然后,我们再来通过测量重量或容积(怎么测量?)来验证.我们可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1克.
测量结果为:未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐确实重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料(365克),而是留有10立方厘米的空间余量.
有意思的是,计算饮料罐的胖的部分的直径和高的比为 6.6/10.2 = 0.647,非常接近黄金分割比0.618.这是巧合吗? 还是这样的比例看起来最舒服,最美?
此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为3 + 0.4 + 0.2 = 3.6平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固,耐压.所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求,必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定.因此,我们也可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的过程,只依靠数学知识是不够的,必须和实际工作者的经验紧密结合.
传动系统、气动元件。
1、包括齿轮、皮带、链条等用于传递动力和运动的组件，选型时需考虑负载要求、传动效率、寿命等因素。
2、如气源处理装置、气动阀门等用于控制气动设备的元件，选型时需考虑工作压力、流量、可靠性等因素。
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